Question

已知四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别是棱PD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面AEF；
（Ⅱ）求直线PC与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：常规题型,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）根据线面垂直的定义与判定，证出EF⊥平面PAD，可得EF⊥PD．利用等腰直角三角形的性质证出AE⊥PD，进而利用线面垂直判定定理证出PD⊥平面AEF；
（II）由前面的证明可得∠PFE就是直线PC与平面AEF所成角，再利用解直角三角形与同角三角函数的基本关系加以计算，可得直线PC与平面AEF所成角的正弦值．

解答： 解：（I）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA，结合CD⊥AD，AD∩PA=A，可得CD⊥平面PAD，
∵EF是△PCD的中位线，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴EF⊥PD，
∵Rt△PAD中，PA=AD=2，E为PD中点，∴AE⊥PD，
又∵AE、EF是平面AEF内的相交直线，∴PD⊥平面AEF；
（II）由（I）PD⊥平面AEF，可得∠PFE就是直线PC与平面AEF所成角，
∵Rt△PDC中，CD=2，PD=

PA2+AD2

=2

2

，
∴tan∠PCD=

PD

CD

=

2

∵EF∥CD，可得∠PFE=∠PCD，
∴tan∠PFE=

2

，可得sin

tan2∠PFE 1+tan2∠PFE

=

6

3

，即直线PC与平面AEF所成角的正弦等于

6

3

点评：本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直并求直线与平面所成角的大小．着重考查了线面垂直的定义、性质与判定，考查了直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．