如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C得如图2四棱锥D′-ABCM．
（1）求证：平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）若∠D′EF=

π

3

，直线D′F与平面ABCM所成角的大小为

π

3

，求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=

1

2

CD，EB=

1

2

PE．
（1）求证：PD∥平面AEC．
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中点．
（1）证明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大小．

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（4，0）、与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
（1）求拋物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；
②当n=2时，若P为AB边中点，请求出m的值；
（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动，且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．
（1）若

CE

EP

=

3

2

，求证：EF∥平面PAB；
（2）若FE⊥PC，求二面角E-DB-C的平面角的余弦值．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点T(

2

，-

6

2

)，其离心率为

1

2

，右顶点为A，右焦点为F（c，0），直线x=

a2

c

与x轴交于B，过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，点P为点M关于直线x=

a2

c

的对称点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BNM的面积的最大值．

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．
（1）若点E在SD上，且AE⊥SD，证明：AE⊥平面SDC；
（2）若三棱锥S-ABC的体积V_S-ABC=

1

6

，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小．

求下列动圆圆心M的轨迹方程：
（1）与圆C：（x+2﹚²+y²=2内切，且过点A（2，0）；
（2）与圆C₁：x²+﹙y-1﹚²=1和圆C₂：x²+﹙y+1²）=4都外切．