Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．
（1）若

CE

EP

=

3

2

，求证：EF∥平面PAB；
（2）若FE⊥PC，求二面角E-DB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题设条件推导出，在△PAC中，

CE

EP

=

CF

FA

=

3

2

，从而得到EF∥PA，由此能够证明EF∥平面PAB．
（2）法一：取FC的中点G，连结EG，过G作GO⊥BD于O，连结EO，由已知条件推导出∠EOG为二面角E-DB-C的平面角，由此能求出二面角E-DB-C的平面角的余弦值．
法二：以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-DB-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵AB∥DC，且

DC

AB

=

3

2

，
∴

CF

FA

=

3

2

，（1分）
在△PAC中，∵

CE

EP

=

CF

FA

=

3

2

，∴EF∥PA，（2分）
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，EF∥PA，
∴EF∥平面PAB．（4分）
（2）解法一：取FC的中点G，连结EG，过G作GO⊥BD于O，连结EO，
在△DAC中，AC=

AD2+DC2

=

42+32

=5，CF=3，AF=2，
在△FEC中，∵FE⊥EC，∠FCE=45°，G为FC的中点，
∴EG⊥AC，∴EG∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EG∥PA，
∴EG⊥平面ABCD，
∵EG⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EG⊥BD，
∵BD⊥GO，BD⊥EG，EG∩GO=G，EG，OG?平面EGO，
∴BD⊥平面EOG，
∵BD⊥平面EOG，OE?平面EOG，
∴BD⊥OE，
∴∠EOG为二面角E-DB-C的平面角，（9分）
EG=

1

2

FC=

3

2

在△BDC中，BD=

AD2+AB2

=

42+22

=2

5

∵

1

2

CD•AD=

1

2

BD•2GO，
∴GO=

CD•AD

2BD

=

3×4

4 5

=

3

5

，
OE=

OG2+EG2

=

( 3 5 )2+( 3 2 )2

=

9

2 5

，
cos∠EOG=

OG

OE

=

3 5

9 2 5

=

2

3

，（13分）
∴二面角E-DB-C的平面角的余弦值为

2

3

．（14分）
解法二：以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，
建立如图所示的坐标系，
由题意知：A（0，0，0），B（0，2，0），C（4，3，0），D（4，0，0），
∵由（1）知

CF

FA

=

3

2

，
∴

AF

=

2

5

AC

=（

8

5

，

6

5

，0），∴F(

8

5

，

6

5

，0)，（5分）
设

PE

=

λPC

，则

AE

=λ

PC

+

AP

=(4λ，3λ，5-5λ)，
∴点E的坐标为（4λ，3λ，5-5λ），

FE

=(4λ-

8

5

，3λ-

6

5

，5-5λ)，

FE

•

PC

=4(4λ-

8

5

)+3(3λ-

6

5

)-5(5-5λ)=0，
解得λ=

7

10

，（7分）

FE

=(

6

5

，

9

10

，

3

2

)，

DB

=(-4，2，0)，（8分）
设

n1

=(x，y，z)是平面EBD的法向量，
则

n1 • BD =-4x+2y=0 n1 • FE = 6 5 x+ 9 10 y+ 3 2 z=0

，
取x=1，则y=2，z=-2，
∴

n1

=(1，2，-2)，（10分）

n2

=(0，0，1)是平面BDC的法向量，（11分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

-2

9 • 1

=-

2

3

，（13分）
∵二面角E-DB-C的平面角是锐角，
∴二面角E-DB-C的平面角的余弦值为

2

3

．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．