Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=

1

2

CD，EB=

1

2

PE．
（1）求证：PD∥平面AEC．
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件，推导出EM∥PD，利用直线与平面平行的判定定理能证明PD∥面EAC．
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AP为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，求出平面EAC的一个法向量，平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答： （1）证明：连结BD，交AC于点M，连结EM，
∵AB∥DC，AB=

1

2

CD，
∴

BM

MD

=

AB

CD

=

1

2

…（1分）
又∵

BE

PE

=

1

2

，∴

BM

MD

=

BE

PE

       …（2分）
∴在△BPD中，EM∥PD．
∵PD不包含于平面EAC，EM?平面EAC
∴PD∥面EAC …（5分）
（2）解：由已知可以A为坐标原点，分别以AB，AP为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），C（a，a，0），B（0，a，0），P（0，0，a），E（0，

2a

3

，

a

3

）

设

n1

=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，
则

ax+ay=0 2ay 3 + a 3 =0

，
解得x=

1

2

，y=-

1

2

，∴

n1

=（

1

2

，-

1

2

，1）．        …（9分）
同理可得平面PBC的一个法向量

n2

=（0，1，1）…（11分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

6

   …（13分）
∴二面角A-CE-P的余弦值为

3

6

．  …（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的应用，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．