Question

求下列动圆圆心M的轨迹方程：
（1）与圆C：（x+2﹚²+y²=2内切，且过点A（2，0）；
（2）与圆C₁：x²+﹙y-1﹚²=1和圆C₂：x²+﹙y+1²）=4都外切．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设动圆圆心为M（x，y），则|MA|-|MC|=

2

＜|AC|=4，因此点M的轨迹是以A、C为焦点的双曲线的左支；
（2）设动圆圆心M（x，y），动圆M与C₁、C₂的切点分别为A、B，则|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|，从而可得|MC₂|-|MC₁|=2，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．

解答： 解：（1）设动圆圆心为M（x，y），则
∴|MA|-|MC|=

2

＜|AC|=4
因此点M的轨迹是以A、C为焦点的双曲线的左支．
其中a=

2

2

，c=2，b=

14

2

其方程是：

x2

1 2

-

y2

7 2

=1（x＜0）；
（2）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则
设动圆圆心M（x，y），动圆M与C₁、C₂的切点分别为A、B，则|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
又∵|MA|=|MB|，
∴|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=2-1=1，
即|MC₂|-|MC₁|=1，
又∵|C₁C₂|=2，
由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点，中心在原点的双曲线的上支．
∵2a=1，2c=2，∴a=

1

2

，c=1，
∴b²=

3

4

．
其方程是：

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（y＞0）．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．