在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=

5π

12

处取得最大值．
（1）求角A的大小．
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

如图所示，已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A、B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

设中心在原点，焦点在x轴上，且离心率为

3

2

的椭圆交圆x²+y²-4x-2y+

5

2

=0于A、B两点，若线段AB是圆的直径．
（1）求线段AB的斜率；
（2）求椭圆的方程．

已知椭圆M的中心原点O，点F（-1，0）是它的一个焦点，直线L过点F与椭圆M交于P、Q两点，当直线L的斜率不存在时，

OP

•

OQ

=

1

2

．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设A、B、C是椭圆M上的不同三点，且

OA

+

OB

+

OC

=0，证明直线AB与OC的斜率之积为定值．

已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB的面积；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=

ln(x+1)

ax+1

．
（1）当a=1，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=1，求证：

(3x-1)ln(x+1)

x-1

+

(3y-1)ln(y+1)

y-1

+

(3z-1)ln(z+1)

z-1

≤0．

如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．
（1）证明：PA=PD；
（2）求证：PA•AC=AD•OC．

节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明治疗越好．若使用时间小于4千小时的产品为不合格产品；使用时间在4千小时到6千小时（不含6千小时）的产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．某节能灯生产厂家为了解同一类型号的某批次产品的质量情况，随机抽取了部分产品作为样本，得到实验结果的频率直方图如图所示．若上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
（1）若该批次有产品2000件，试估计该批次的不合格品，合格品，优质品分别有多少件？
（2）已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实习“三包”．通过多年统计可知：该型号节能灯每件产品的利润y（单位：元）与使用时间t（单位：千小时）的关系式为y=

-20，t＜4 20，4≤t＜6 40，t≥6

．现从大量的该型号节能灯中随机抽取一件，其利润记为X（单位：元），求X≥20的概率．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点P(

2

，

3

)，且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦点和上顶点分别为F和A，且抛物线y²=-8x的焦点恰好为F，原点O到直线AF的距离为

2 5

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l交椭圆C于M、N，且F为△AMN的垂心，试求直线l的方程．