Question

如图所示，已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A、B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设抛物线C₂的标准方程为y²=2px，（p＞0），由焦点F（1，0），能求出抛物线C₂的标准方程．
（2）设AB：x=ny+4，联立y²=4x，得y²-4ny-16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理推导出

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，由此能证明以AB为直径的圆过原点．
（3）设P（4t²，4t），则OP的中点（2t²，2t）在直线l上，由

2t2=4+2nt 4t 4t2 =-n

，求出直线l：x=y+4，由此能求出长轴长最小值．

解答： （1）解：设抛物线C₂的标准方程为y²=2px，（p＞0），
由焦点F（1，0），得p=2，
∴抛物线C₂的标准方程为y²=4x．…（3分）
（2）证明：∵过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A、B两点，
∴设AB：x=ny+4，联立y²=4x，
得y²-4ny-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-16，
∴x₁x₂=

y12y22

16

=16，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴以AB为直径的圆过原点．…（8分）
（3）解：设P（4t²，4t），则OP的中点（2t²，2t）在直线l上，
∴

2t2=4+2nt 4t 4t2 =-n

，解得n=±1，∵t＜0，
∴n=1，直线l：x=y+4．…（10分）
设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，与直线l：x=y+4联立可得：
（2a²-1）y²+8（a²-1）y-a⁴+17a²-16=0，
∵△=[8（a²-1）]²-4（2a²-1）（17a²-16）≥0，
∴a≥

34

2

，∴长轴长最小值为

34

．…（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查以AB为直径的圆为原点的证明，考查椭圆长轴长最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．