Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=

5π

12

处取得最大值．
（1）求角A的大小．
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，利用三角函数的恒等变化化简f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-A），you f（x）在x=

5π

12

处取得最大值，可得 2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，k∈z，结合A∈（0，π），可得A的值．
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得sinB+sinC=

b+c

a

sinA，化简可得b+c=13．由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得bc=40，由此求得S△ABC=

1

2

bcsinA的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，f（x）=2cosx（sinxcosA-cosxsinA）+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A），
∵f（x）在x=

5π

12

处取得最大值，∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，k∈z，即A=

π

3

-2kπ，k∈Z．
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得sinB+sinC=

b+c

a

sinA，
即

13 3

14

=

b+c

7

×

3

2

，∴b+c=13．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，即49=169-3bc，∴bc=40，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．