已知函数f（x）=2x²-ax+1，若存在t∈[1，3]，使f（-t²-1）=f（2t），求实数a的取值范围．

设函数f（x）=a²lnx-x²+ax+b，已知a是正实数，若存在实数b，使得e≤f（x）≤e²+1对x∈[1，e]恒成立，试求a的取值范围．

为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重（单位：千克）数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校随机抽查的部分男生的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选三人，设X表示体重超过55千克的学生人数，求X的数学期望．

已知方程x²+ax+b=0有且只有一个根 
（1）求b的值（用a表示）；
（2）若a∈[-3，3]，求a+b的取值范围．

指出函数f（x）=

3x2

3x-2

（x＞

2

3

）的单调区间，并求出函数的最小值．

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在区间（1，3）上不单调，求m的取值范围；
（Ⅲ）试比较

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

与

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大小（n∈N₊，且n≥2），并证明你的结论．

如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，

|DM|

|DP|

=

3

2

，当点P在圆x²+y²=4上运动时，
（1）求：动点M的轨迹E的方程； 
（2）若B（-2，0），C（1，0），A是曲线E上的一个动点，求：

AB

•

AC

的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A（x₁，y₁），α∈（

π

4

，

π

2

）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转

π

4

，交单位圆于点B（x₂，y₂）．
（1）若x₁=

3

5

，求x₂；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S₁，S₂，且S₁=

4

3

S₂，求tanα的值．

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦的长度．

已知函数f（x）=-x²+2lnx，函数f（x）与g（x）=x+

a

x

 有相同极值点．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求实数a的值；
（3）若?x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，求实数k的取值范围．