化简：cos⁴

π

2

-sin⁴

π

2

．

已知椭圆x²+2y²=a²（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线y=k（x-1）与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，

MA

•

MB

为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

在双曲线x²-y²=4上有一点P，F₁、F₂是双曲线的两个焦点，且∠F₁PF₂=90°，求△F₁PF₂的周长．

将3个球随机地放入4个杯子中，求一个杯子中球数的最大值x的概率分布．

已知集合A={x|-2＜x≤2}，B={x|a＜x＜a+3}．
（1）当a=0时，求A∩B；
（2）求使得B⊆A的实数a的取值范围；
（3）若不存在实数x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数a的取值范围．

点P是圆M：（x+1）²+y²=16上一点，点F（1，0），线段PF的垂直平分线和圆M的半径MP相交于点Q．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线x=my-1交轨迹C于A、B两点，求△ABF面积的最大值．

已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-

1

4

，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q是曲线C上的动点，直线AQ，BQ分别交直线l：x=4于点M，N，线段MN的中点为D，求直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记直线BM与AN的交点为T，试探究点T与曲线C的位置关系，并说明理由．

已知椭圆x²+2y²=a²（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线y=k（x-1）与椭圆C交于A、B两点，若点M（

11

4

，0），求证

MA

•

MB

为定值．

离心率为

5

5

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x=ky+1与C交于相异两点M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

（O是坐标原点），求k．

某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3

3

）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．