Question

点P是圆M：（x+1）²+y²=16上一点，点F（1，0），线段PF的垂直平分线和圆M的半径MP相交于点Q．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线x=my-1交轨迹C于A、B两点，求△ABF面积的最大值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，故Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）x=my-1，代入椭圆方程消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，S_△ABF=

1

2

•2c•|y₁-y₂|，由韦达定理即可用m表示出面积，换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值．

解答： 解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，
故Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，a=2，c=1，
所以b=

3

，
所以点Q的轨迹Γ的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=

-9

3m2+4

，
∴S_△ABF=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

令t=

m2+1

，则t≥1，S_△ABF=

12

3t+ 1 t

，
∵t≥1，
∴（3t+

1

t

）′=3-

1

t2

＞0，
∴3t+

1

t

递增，
∴（3t+

1

t

）_min═3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，
∴△ABF面积的最大值为3．

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．