Question

离心率为

5

5

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x=ky+1与C交于相异两点M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

（O是坐标原点），求k．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 5 5 c=1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）联立

x2 5 + y2 4 =1 x=ky+1

，得（4k²+5）y²+8ky-16=0，由此利用韦达定理、根的判别式并结合

OM

•

ON

=-

31

9

，能求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵离心率为

5

5

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴

c a = 5 5 c=1 a2=b2+c2

，解得a²=5，b²=4，
∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）联立

x2 5 + y2 4 =1 x=ky+1

，消去x，并整理得（4k²+5）y²+8ky-16=0，
∵直线x=ky+1与C交于相异两点M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

（O是坐标原点），
∴△=64k²+64（4k²+5）＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

y1+y2= -8k 4k2+5 y1•y2= -16 4k2+5

，∵x₁x₂=（ky₁+1）（ky₂+1），
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-

16k2

4k2+5

-

8k2

4k2+5

+1-

16

4k2+5

=

-20k2-11

4k2+5

=-

31

9

，
解得k²=1，∴k=±1．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数k的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．