Question

已知椭圆x²+2y²=a²（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线y=k（x-1）与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，

MA

•

MB

为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆x²+2y²=a²（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，建立方程，求出a，b，则椭圆方程可知．
（II）直线与椭圆方程联立，消去y，得到关于a的一元二次方程，求出x₁+x₂，x₁x₂，求出

MA

•

MB

，即可得出结论．

解答： 解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，
则b2=

a2

2

，由c²=a²-b²得c2=a2-

a2

2

=

a2

2

，
由

1

2

×b×2c=4解得a²=8，b²=4，则椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．----------（6分）
（2）由

y=k(x-1) x2+2y2=8

得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得：x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-8

2k2+1

，
∴

MA

•

MB

=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=x1x2-m(x1+x2)+m2+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+k2+m2
=(k2+1)

2k2-8

2k2+1

-(m+k2)

4k2

2k2+1

+k2+m2=-

(5+4m)k2+8

2k2+1

+m2，----------------（10分）
当5+4m=16，即m=

11

4

时，

MA

•

MB

=-

7

16

为定值，所以，存在点M(

11

4

，0)
使得

MA

•

MB

为定值（14分）．

点评：本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用．