某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科．
（1）是根据以上信息，写出2×2列联表
（2）用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？

在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，

2

sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．
（Ⅰ）当θ=

2π

3

，求向量

AB

的坐标；
（Ⅱ）当θ∈[0，

π

2

]时，求|

AB

|的最大值．

在数列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．从数列{a_n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b_n}，并称{b_n}为数列{a_n}的k项子列．例如数列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

为{a_n}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{a_n}的一个3项子列，并使其为等比数列；
（Ⅱ）如果{b_n}为数列{a_n}的一个5项子列，且{b_n}为等差数列，证明：{b_n}的公差d满足-

1

4

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}为数列{a_n}的一个6项子列，且{c_n}为等比数列，证明：c₁+c₂+c₃+c₄+c₅+c₆≤

63

32

．

已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²-x-2，解不等式f（x）＞0．

求函数y=-

x

x2+2x+2

，x∈[1，3]的值域．

设函数f（x）在定义域[-1，1]是奇函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-3x²．
（1）当x∈[0，1]，求f（x）；
（2）对任意a∈[-1，1]，x∈[-1，1]，不等式f（x）≤2cos²θ-asinθ+1都成立，求θ的取值范围．

设函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（cosx，

3

cosx），

n

=（2cosx，2sinx）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积．

已知f（x）=8x²-6kx+（2k+1）
（1）若f（x）=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，求k的取值范围；
（2）问是否存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．

圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，
（1）当α=135°时，求|AB|；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
（3）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．

已知函数f（x）=

ax-b

x2+1

在点（1，f（1））的切线方程为x-y-1=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求证：

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．