Question

在数列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．从数列{a_n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b_n}，并称{b_n}为数列{a_n}的k项子列．例如数列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

为{a_n}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{a_n}的一个3项子列，并使其为等比数列；
（Ⅱ）如果{b_n}为数列{a_n}的一个5项子列，且{b_n}为等差数列，证明：{b_n}的公差d满足-

1

4

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}为数列{a_n}的一个6项子列，且{c_n}为等比数列，证明：c₁+c₂+c₃+c₄+c₅+c₆≤

63

32

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的应用,等比关系的确定

专题：阅读型,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n=

1

n

（n∈N^*），及等比数列的定义写出一个即可；
（Ⅱ）由a_n=

1

n

（n∈N^*）得数列{a_n}为递减数列，故有题意可得{b_n}为递减等差数列，可求得d=b₂-b₁＜0，又 b₅=b₁+4d，b₁≤1，b₅＞0，即可证明结论；
（Ⅲ）利用等比数列的定义得 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)，设c1=

1

a

≤1 (a∈N*)，q=

K

L

(K，L∈N*，分类讨论再结合不等式进行放缩得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列：

1

2

，

1

4

，

1

8

．…（2分）
（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，
所以 d=b₂-b₁＜0．…（4分）
因为 b₅=b₁+4d，b₁≤1，b₅＞0，
所以 4d=b₅-b₁＞0-1=-1，
解得 d＞-

1

4

．
所以-

1

4

＜d＜0．…（7分）
（Ⅲ）证明：由题意，设{c_n}的公比为q，
则 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)．
因为{c_n}为{a_n}的一个6项子列，
所以 q为正有理数，且q＜1，c1=

1

a

≤1 (a∈N*)．…（8分）
设 q=

K

L

(K，L∈N*，且K，L互质，L≥2）．
当K=1时，
因为 q=

1

L

≤

1

2

，
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)≤1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+(

1

2

)5，
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6≤

63

32

．…（10分）
当K≠1时，
因为 c6=c1q5=

1

a

×

K5

L5

是{a_n}中的项，且K，L互质，
所以 a=K⁵×M（M∈N^*），
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)=

1

M

(

1

K5

+

1

K4L

+

1

K3L2

+

1

K2L3

+

1

KL4

+

1

L5

)．
因为 L≥2，K，M∈N^*，
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6≤1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+(

1

2

)5=

63

32

．
综上，c1+c2+c 3+c4+c5+c6≤

63

32

．…（13分）

点评：本题考查学生阅读知识并运用知识的能力，以及利用等差数列、等比数列的性质分析问题，解决问题的能力，属难题．