Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，

2

sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．
（Ⅰ）当θ=

2π

3

，求向量

AB

的坐标；
（Ⅱ）当θ∈[0，

π

2

]时，求|

AB

|的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）把θ=

2π

3

代入，求出向量

AB

的坐标表示；
（Ⅱ）由向量

AB

，求出|

AB

|的表达式，在θ∈[0，

π

2

]时，求出|

AB

|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当θ=

2π

3

时，向量

AB

=（sin

2π

3

-cos

2π

3

，0-

2

sin

2π

3

）
=（

3

2

+

1

2

，-

2

×

3

2

）
=（

3 +1

2

，-

6

2

）；
（Ⅱ）∵向量

AB

=（sinθ-cosθ，-

2

sinθ），
∴|

AB

|=

(sinθ-cosθ)2+(- 2 sinθ)2

=

1-2sinθcosθ+2sin2θ

=

2-sin2θ-cos2θ

=

2- 2 sin(2θ+ π 4 )

；
∴当θ∈[0，

π

2

]时，2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（2θ+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin（2θ+

π

4

）∈[-1，

2

]，
∴

2- 2 sin(2θ+ π 4 )

≤

3

，
即|

AB

|的最大值是

3

．

点评：本题考查了平面向量的坐标表示及其应用问题，解题时应根据向量的坐标运算，结合三角函数的运算法则，求出正确的答案．