Question

已知f（x）=8x²-6kx+（2k+1）
（1）若f（x）=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，求k的取值范围；
（2）问是否存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过f（x）=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，利用二次函数根的分布列出关系式，求k的取值范围；
（2）假设存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．然后利用利用韦达定理求出k的值，然后判断即可．

解答： 解：（1）设两根为x₁，x₂．f（x）=8x²-6kx+（2k+1）
f（x）=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，
则要满足：

△≥0 f(0)＞0 f(1)≥0 0＜ 3k 8 ≤1

，即：

36k2-32(2k+1)≥0 2k+1＞0 8-6k+2k+1≥0 0＜ 3k 8 ≤1

⇒

k≤ 8-2 34 9 ＜0或k≥ 8+2 34 9 k＞- 1 2 k≤ 9 4 0＜k≤ 8 3

解得：k∈∅．
（2）假设存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角A、B的正弦值，
则A+B=90°，sinA=cosB，
∵sin²A+cos²A=1，
∴x₁²+x₂²=1，
∵x₁+x₂=

6k

8

，x1•x2=

2k+1

8

∴(

3k

4

)2-2×

2k+1

8

=1
∴k=2或-

10

9

.

当k=2时，原方程为：8x²-12x+5=0，△＜0，不合题意．
当k=-

10

9

时，原方程为：8x2+

20

3

x-

11

9

=0，x₁•x₂＜0，不合题意．
综上，不存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，根的分布以及韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力．