Question

设函数f（x）在定义域[-1，1]是奇函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-3x²．
（1）当x∈[0，1]，求f（x）；
（2）对任意a∈[-1，1]，x∈[-1，1]，不等式f（x）≤2cos²θ-asinθ+1都成立，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质，即可求出当x∈[0，1]，f（x）的表达式；
（2）将不等式恒成立，转换为最值恒成立即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意可知，f（-x）=-f（x），
设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，
则f（-x）=-3x²，
∴f（-x）=-3x²=-f（x），
即f（x）=3x²．
（2）由（1）知f（x）=

-3x2， x∈[-1，0) 3x2， x∈[0，1]

，
∵不等式f（x）≤2cos²θ-asinθ+1都成立，
∴f（x）_max≤2cos²θ-asinθ+1都成立，
∵f（x）_max=f（1）=3，
∴2cos²θ-asinθ+1≥3，
即2sin²θ+asinθ≤0，
设f（a）=2sin²θ+asinθ，
∵a∈[-1，1]，
∴

f(1)=2sin2θ+sinθ≤0 f(-1)=2sin2θ-sinθ≤0

，即

- 1 2 ≤sinθ≤0 0≤sinθ≤ 1 2

，
∴sinθ=0，
即θ=kπ，k∈Z．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数恒成立问题，利用函数奇偶性的定义是解决本题的根据．