已知函数f（x）=alnx+

1

x

+

1

2x2

，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜

2

3

．

为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩，从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩（单位：分）作样本，如图是样本的茎叶图：
（1）分别计算甲、乙两个班级数学成绩的样本的平均数；
（2）从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩，求抽到的成绩之差的绝对值不低于20的概率．

f（x）=|x|+|x+1|的最小值为m
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）x，y，z∈R，且2x+3y+3z=m求x²+y²+z²的最小值．

已知函数f（x）=x-sinx-

1

3

ax³，其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数g（x）=f（x）+sinx的极值；
（2）当a＜0时，证明：函数f（x）在R是单调函数．

已知函数r（x）=lnx，函数h（x）=

1

a

(1-

1

x

)(a＞0)，f(x)=r(x)-h(x)．
（Ⅰ）试求f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
（Ⅲ）设数列{a_n}是公差为1．首项为l的等差数列，数列{

1

an

}的前n项和为S_n，求证：当a=1时，S_n-2＜f（n）-

1

n

＜Sn-1-1(n∈N*，n≥2)．

如图是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

（Ⅰ）根据图象求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有的点向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若实数α满足0＜α＜π，

∫

π α

g（x）dx=3，求α的值．

求下列函数的导数．
（1）y=2xsin（2x-5）
（2）f（x）=ln

x2+1

（3）y=

2x

x2+1

．

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心O₁、O₂之间的距离为10米．
（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O₁O₂⊥AB于点M．设∠AO₂M=θ，求矩形的宽AB为多少时，可使喷泉ABCD的面积最大；
（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA=NB，NO₂=4米．若∠AO₂M=θ∈[

π

6

，

π

4

]，求喷泉的面积的取值范围．

已知动圆C：（x-m）²+（y-2m）²=m²（m＞0）
（Ⅰ）当m=2时，求经过原点且与圆C相切的直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C与圆E：（x-3）²+y²=16内切，求实数m的值．

某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样
本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．