Question

f（x）=|x|+|x+1|的最小值为m
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）x，y，z∈R，且2x+3y+3z=m求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用,不等式

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式f（x）=|x|+|x+1|≥|-x+x+1|=1，结合已知即可求得m的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式：（2x+3y+3z）²≤（2²+3²+3²）（x²+y²+z²）即可求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）≥|-x+x+1|=1，
∴f（x）的最小值为1，即m=1…（3分）
（Ⅱ）由柯西不等式得：（2x+3y+3z）²≤（2²+3²+3²）（x²+y²+z²）．
∵2x+3y+3z=1，
∴x2+y2+z2≥

1

22

，当且仅当

x

2

=

y

3

=

z

3

，即x=

1

11

，y=z=

3

22

时，等号成立，
∴x²+y²+z²的最小值为

1

22

．…（7分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法与柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．