己知数列{a_n}满足a₁=1，a_2n-a_2n-1=2，a_2n+1-a_2n=3ⁿ（n∈N^*）．
（I）计算：（a₃-a₁）+（a₅-a₃），并求a₅；
（Ⅱ）求a_2n-1（用含n的式子表示）；
（Ⅲ）记b_n=a_2n-1+a_2n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

己知数列{a_n}满足a₁=1，a_2n-a_2n-1=2，a_2n+1-a_2n=3ⁿ（n∈N^*）．
（I）计算：（a₃-a₁）+（a₅-a₃），并求a₅；
（Ⅱ）求a_2n-1（用含n的式子表示）；
（Ⅲ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

已知正项数列{a_n}，若对于任意正整数p、q均有a_p•a_q=2^p+q成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

已知函数f（x）=cos²ωx-sin²ωx（ω＞0）的最小正周期为6，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g（t）．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围．

己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M、N是AB，CC₁的中点．
（I）求证：CM∥平面A₁BN．
（Ⅱ）求证：A₁C⊥BN．

已知函数f（x）=x+

1

x

+

x2+ 1 x2 +1

（x＞0），数列数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），（n∈N^*），S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，T_n=

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

．
（1）求证：f（x）+

1

f(x)

=2（x+

1

x

）；
（2）求S_n+T_n；
（3）在数列{S_n+T_n}中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长？若能，请求出这三项；若不能请说明理由．

（1）已知a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤

1

3

．
（2）已知a＞0，求证：

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

已知命题p：?x∈[1，2]，x²+ax+1≥0，命题q：?x∈R，x²+2ax+2-a=0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

已知a＞0，求证：

a2+ 1 a2

-

3

＞a+

1

a

-3．

若数列{a_n}满足点（

1

an

，

1

an+1

）（n∈N^*）在函数f（x）=x+2n的图象上，且a₁=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求证：

4

3

≤

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

＜2．