Question

己知数列{a_n}满足a₁=1，a_2n-a_2n-1=2，a_2n+1-a_2n=3ⁿ（n∈N^*）．
（I）计算：（a₃-a₁）+（a₅-a₃），并求a₅；
（Ⅱ）求a_2n-1（用含n的式子表示）；
（Ⅲ）记b_n=a_2n-1+a_2n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）对n赋值求得：a₃-a₁和a₅-a₃的值，即得结论；
（Ⅱ）由题意得a2n+1-a2n-1=3n+2，利用累加法求和即得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得bn=a2n-1+a2n=3n+4n-3，利用分组求和即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题设可得，a3-a1=(a2-a1)+(a3-a2)=2+31=5
同理a5-a3=2+32=11
所以（a₃-a₁）+（a₅-a₃）=16，…（2分）
从而，有a₅-a₁=16，所以，a₅=17；     …（3分）
（Ⅱ）由题设知，a2n+1-a2n-1=3n+2，…（4分）
所以，a2n-1-a2n-3=3n-1+2a2n-3-a2n-5=3n-2+2
…a5-a3=32+2a3-a1=31+2…（6分）
将上述各式两边分别取和，得a2n-1-a1=(31+32+…+3n-1)+2(n-1)
所以，a2n-1=

3n

2

+2n-

5

2

．           …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得a2n=

3n

2

+2n-

1

2

，…（9分）
所以，bn=a2n-1+a2n=3n+4n-3…（10分）
所以Sn=(31+32+…+3n)+4(1+2+…+n)-3n=

3n+1

2

+2n2-n-

3

2

．…（12分）

点评：本题主要考查累加法求数列的通项公式及分组法对数列求和，考查等差数列和等比数列的前n项和公式及学生的运算能力，属难题．