如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3

2

，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，D为线段CE上任意一点，且AE=2

2

，BF=

2

．
（I） 求证：C₁E⊥FD；
（Ⅱ） 若D为线段CE的中点，求二面角C₁-FD-E的余弦值的大小．

已知非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，求证：

a

⊥

b

．

设函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．①讨论该函数的奇偶性．②判断函数的单调性并加以证明．

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是A₁B₁，AC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求证：平面MAC₁⊥平面ABC₁．

定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即e=

c

a

，叫做椭圆的离心率．若两个椭圆的离心率e相同，称这两个椭圆相似．
（1）判断椭圆C₁：

x2

100

+

y2

25

=1与椭圆C₂：

x2

4

+y²=1是否相似？并说明理由；
（2）若椭圆Γ₁：

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞2）与椭圆Γ₂：

x2

8

+

y2

16

=1相似，求a的值；
（3）设动直线l：y=kx+6与（2）中的椭圆Γ₁交于M、N两点，试探究：在椭圆Γ₁上是否存在异于M、N的定点Q，使得直线QM、QN的斜率之积为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

设{a_n}是等差数列，其前n项和是S_n，a₃=6，S₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，-4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足

OM

•

ON

=

16

7

（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

3名教师与4名学生排成一横排照相，求
（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？
（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？
（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？

设函数f（x）=x³-x²-3ax+b．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

已知a+b+c=1，
（1）求S=2a²+3b²+c²的最小值及取最小值时a，b，c的值．
（2）若2a²+3b²+c²=1，求c的取值范围．