题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，-4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足
•
=
（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，-4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足
| OM |
| ON |
| 16 |
| 7 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件推导出
，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+4，联立
，得（4k2+3）x2+32kx+16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．
|
（2）设直线l的方程为y=kx+4，联立
|
解答：
解：（1）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=
，
∴
，解得a=4，c=2，b=
=2
，
∴椭圆C的标准方程是
+
=1．
（2）设直线l的方程存在，若l的斜率不存在，则M（0，2
），N（0，-2
），
此时
•
=12，不成立．
若l的斜率k存在，则l的方程为y=kx+4，
联立
，得（4k2+3）x2+32kx+16=0，
△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
，x1x2=
，
y1y2=（kx1+4）（kx2+4）=k2x1x2+4k（x1+x2）+16，
∵
•
=
，
∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+4k（x1+x2）+16
=
-
+16=
，
解得k2=1．
∴直线l的方程为y=±x+4．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
∴
|
| 16-4 |
| 3 |
∴椭圆C的标准方程是
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（2）设直线l的方程存在，若l的斜率不存在，则M（0，2
| 3 |
| 3 |
此时
| OM |
| ON |
若l的斜率k存在，则l的方程为y=kx+4，
联立
|
△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
| 32k |
| 4k2+3 |
| 16 |
| 4k2+3 |
y1y2=（kx1+4）（kx2+4）=k2x1x2+4k（x1+x2）+16，
∵
| OM |
| ON |
| 16 |
| 7 |
∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+4k（x1+x2）+16
=
| 16k2+16 |
| 4k2+3 |
| 128k2 |
| 4k2+3 |
| 16 |
| 7 |
解得k2=1．
∴直线l的方程为y=±x+4．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．
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