Question

设函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．①讨论该函数的奇偶性．②判断函数的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性的定义和单调性的定义进行判断和证明即可．

解答： 解：①要使函数有意义，则

1-x

1+x

＞0．解得-1＜x＜1，
∵f（x）=log₂

1-x

1+x

．
∴f（x）+f（-x）=log₂

1-x

1+x

+log₂

1+x

1-x

=log₂（

1-x

1+x

．

1-x

1+x

）=log₂1=0．
则f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．
②函数的定义域为（-1，1），设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=log₂

1-x1

1+x1

-log₂

1-x2

1+x2

=log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

），
∵

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

-1=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，
∴

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

＞1，
即log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

）＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
故函数在（-1，1）上单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．