Question

已知a+b+c=1，
（1）求S=2a²+3b²+c²的最小值及取最小值时a，b，c的值．
（2）若2a²+3b²+c²=1，求c的取值范围．

Answer 1

考点：柯西不等式

专题：选作题,不等式

分析：对于“积和结构”或“平方和结构”，通常构造利用柯西不等式求解即可．（1）根据柯西不等式，（2a²+3b²+c²）（

1

2

+

1

3

+1）≥（a+b+c）²；（2）根据柯西不等式得：（a+b）²≤（2a²+3b²）（

1

2

+

1

3

），即可得出结论．

解答： 解：（1）根据柯西不等式，（2a²+3b²+c²）（

1

2

+

1

3

+1）≥（a+b+c）²
∵a+b+c=1，∴S≥

6

11

，等号成立的条件是a=

3

11

，b=

2

11

，c=

6

11

．
∴当a=

3

11

，b=

2

11

，c=

6

11

时，S=2a²+3b²+c²的最小值为

6

11

．
（2）根据条件可得：a+b=1-c，2a²+3b²=1-c²，
根据柯西不等式得：（a+b）²≤（2a²+3b²）（

1

2

+

1

3

），
∴（1-c）²≤

5

6

（1-c²），解之得

1

11

≤c≤1．

点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．