Question

设{a_n}是等差数列，其前n项和是S_n，a₃=6，S₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

a1+2d=6 3a1+3d=12

，由此能求出a_n=2n．
（2）由（1）求出S_n=n²+n，从而得到

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，其前n项和是S_n，a₃=6，S₃=12，
∴

a1+2d=6 3a1+3d=12

，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵a₁=2，d=2，
∴Sn=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n，∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式 的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．