已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²a_n+2a₁-1，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）对任意n∈N^*，试比较a_n与

1

2n

的大小，并说明理由．

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+2}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

解关于x的不等式（1-2ax）²＜1．

已知函数f（x）=x²+ax+6．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0对x＜0恒成立，求a的范围．

设数列{a_n}满足：a₁=

5

6

，且a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

（n∈N^*，n≥2）
（1）求证：数列{a_n-

1

2

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求{b_n}的前n项和T_n．

（x

x

+

1

3 x

）ⁿ的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项？

在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（

2 3

3

，

π

2

）．圆C的参数方程为

x=2+2cosθ y=-3+2sinθ

，（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

设复数z=x+yi（x，y∈R），且

x

1-i

+

y

1-2i

=

5

1-3i

，求z的共轭复数

.

z

．

数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列．
（1）计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表达式，并证明．

已知函数f（x）=a∫

x+1 1

1

t

dt+（x+1）²（x＞-1）
（1）若f（x）在x=1处有极值，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）
（2）若a=1，设F（x）=f（x）-（x+1）²-x
①求证：当x＞0时，F（x）＜0；
②设a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

（n∈N^*），求证：a_n＞ln2．