在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=

2

1+sin2θ

，直线l的极坐标方程为ρ=

4

2 sinθ+cosθ

．
（Ⅰ）写出曲线C₁与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C₁上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A（n）：A₁，A₂，A₃，…，A_n与B（n）：B₁，B₂，B₃，…，B_n，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A_iA_i+1⊥B_iB_i+1，其中i=1，2，3，…，n-1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．
（Ⅰ）试判断A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）与B（3）：B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）是否互为正交点列，并说明理由；
（Ⅱ）求证：A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）是否存在无正交点列B（5）的有序整数点列A（5）？并证明你的结论．

平面点集M={（x，y）|x²-2x+2≤y≤6x-x²-3，且x，y∈Z}，求M中元素的个数．

已知a＞b＞0，曲线C上任意一点P分别与点A（-a，0）、B（a，0）连线的斜率的乘积为-

b2

a2

．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+h（k≠0，h≠0）与x轴、y轴分别交于M、N两点，若曲线C与直线没有公共点，求证：|MN|＞a+b．

一场文艺晚会，有3个舞蹈，2个歌曲，4个小品，要求舞蹈和舞蹈、歌曲和歌曲不相邻，请问有多少种节目排法？

已知线性变换τ：

x′=3x+y y′=2x+2y

对应的矩阵为T，向量

β

=（

5

6

）．
（Ⅰ）求矩阵T的逆矩阵T^-1；
（Ⅱ）若向量

α

在τ作用下变为向量

β

，求向量

α

．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为

π

3

的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由；
（3）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且

OG

•

OH

=0，求△GOH面积的最小值．

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若函数f（x+1）与f（x）的图象关于y轴对称，求证：f（x+

1

2

）为偶函数．

已知直线l，平面α、β，若l⊥α，l⊥β，求证：α∥β．

已知函数f（x）的定义域为R，对一切x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）是增函数，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．