Question

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A（n）：A₁，A₂，A₃，…，A_n与B（n）：B₁，B₂，B₃，…，B_n，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A_iA_i+1⊥B_iB_i+1，其中i=1，2，3，…，n-1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．
（Ⅰ）试判断A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）与B（3）：B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）是否互为正交点列，并说明理由；
（Ⅱ）求证：A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）是否存在无正交点列B（5）的有序整数点列A（5）？并证明你的结论．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：（I）根据已知中中正交点列的定义，判断A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）与B（3）：B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）是否满足条件，可得结论．
（II）点列B₁，B₂，B₃，B₄是点列A₁，A₂，A₃，A₄的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）有序整点列B₁，B₂，B₃，B₄，B₅是点列A₁，A₂，A₃，A₄，A₅的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．

解答： 解：（Ⅰ）有序整点列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）与B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）互为正交点列．-------------------------（1分）
理由如下：
由题设可知 

A1A2

=(3，-2)，

A2A3

=(2，2)，

B1B2

=(2，3)，

B2B3

=(3，-3)，
因为 

A1A2

•

B1B2

=0，

A2A3

•

B2B3

=0
所以 A₁A₂⊥B₁B₂，A₂A₃⊥B₂B₃．
所以整点列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）与B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）互为正交点列．----------------------------（3分）
（Ⅱ）证明：由题意可得 

A1A2

=(3，1)，

A2A3

=(3，-1)，

A3A4

=(3，1)，
设点列B₁，B₂，B₃，B₄是点列A₁，A₂，A₃，A₄的正交点列，
则可设

B1B2

=λ1(-1，3)，

B2B3

=λ2(1，3)，

B3B4

=λ3(-1，3)，λ₁，λ₂，λ₃∈Z
因为A₁与B₁，A₄与B₄相同，所以有

-λ1+λ2-λ3① 3λ1+3λ2+3λ3②

因为λ₁，λ₂，λ₃∈Z，方程②不成立，
所以有序整点列A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交点列．----------（8分）
（Ⅲ）存在无正交点列的整点列A（5）．-------------------------------------------（9分）
当n=5时，设

AiAi+1

=(ai，bi)，ai，bi∈Z，其中a_i，b_i是一对互质整数，i=1，2，3，4
若有序整点列B₁，B₂，B₃，B₄，B₅是点列A₁，A₂，A₃，A₄，A₅的正交点列，
则

BiBi+1

=λi(-bi，ai)，i=1，2，3，4，由 

4

i=1

AiAi+1

=

4

i=1

BiBi+1

得

4 i=1 -λibi= 4 i=1 ai，① 4 i=1 λiai= 4 i=1 bi．②

取A₁（0，0），a_i=3，i=1，2，3，4，b₁=2，b₂=-1，b₃=1，b₄=-1
由于B₁，B₂，B₃，B₄，B₅是整点列，所以有λ_i∈Z，i=1，2，3，4．
等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以存在无正交点列的整点列A（5）．-----------------------------------（13分）

点评：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．