设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

5π

12

处取得最大值3，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当

π

4

≤x≤

π

2

时，求f（x）的取值范围．

已知方程x²+y²-2x+2my+m²-2m-2=0（m∈R）．
（1）若方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若方程表示的圆C的圆心C（1，1），求经过P（2，4）的圆C的切线方程；
（3）若直线x+y+t=0与（2）中的圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数t的值．

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，设两个交点的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）求证：
（1）y₁y₂=-p²
（2）x₁x₂=

p2

4

．

已知：直线l：x+2y-1=0与⊙C：x²+y²-2x-4y+m=0（m＜5）
（1）若直线l与⊙C相交，求m的取值范围．
（2）在（1）的条件下，设直线l与⊙C交于A、B两点，若OA⊥OB，求m的值．

某调查公司在某服务区调查七座以下小型汽车在某段高速公路的车速（km/t），办法是按汽车进服务区的先后每间隔50辆抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问，将调查结果按[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90）分成六段，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这40辆小型车辆车速的众数和中位数．
（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中至少有一辆的车速在[65，70）的概率．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段BC上是否存在点F，使平面DA₁C₁与平面A₁C₁F垂直？若存在，求出BF的长；若不存在，说明理由．

已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）
（Ⅰ）当a=1时，求函数y=

x

g(x)

的图象上斜率为-2的切线方程；
（Ⅱ）当a＜-2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当-3＜a＜-2时，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范围．

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=PA=PD=2，∠ABD=

π

3

，点E是AD的中点，点Q是PC的中点．
（Ⅰ）求证：EQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥B-PAD的体积．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁⊥平面ABC，D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：31，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=4cos²x-4

3

sinxcosx-2（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=-4，若向量

m

=（1，sinA）与向量

.

n

=（1，2sinB）共线，求a、b的值．