Question

已知：直线l：x+2y-1=0与⊙C：x²+y²-2x-4y+m=0（m＜5）
（1）若直线l与⊙C相交，求m的取值范围．
（2）在（1）的条件下，设直线l与⊙C交于A、B两点，若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）先求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离小于半径，可得

|1+4-1|

5

＜

5-m

，由此求得m的取值范围．
（2）把直线方程和圆的方程联立方程组化简，利用韦达定理、两个向量垂直的性质，求出m的值．

解答： 解：（1）⊙C：x²+y²-2x-4y+m=0 即 （x-1）²+（y-2）²=5-m，
表示以C（1，2）为圆心、半径等于

5-m

的圆．
根据圆心到直线l：x+2y-1=0的距离为d=

|1+4-1|

5

=

4 5

5

＜

5-m

，
解得 m＜

9

5

，故m的取值范围（-∞，

9

5

）．
（2）由

x+2y-1 x2+y2-2x-4y+m=0

 可得 5y²-4y+m-1=0，∴y₁+y₂=

4

5

，y₁•y₂=

m-1

5

．
再根据OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=（1-2y₁）（1-2y₂）+y₁•y₂=1+5y₁•y₂-2（y₁+y₂）
=1+5•

m-1

5

-2×

4

5

=0，
解得 m=

8

5

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用．还考查了韦达定理、两个向量垂直的性质，属于基础题．