甲、乙、丙三人独立破译一种密码，他们破译成功的概率分别为

1

2

，

3

5

，

3

4

求：
（1）三人同时破译，恰有一人破译成功的概率；
（2）三人同时破译，能破译成功的概率；
（3）要使破译成功的概率不小于95%，至少需要丙这样的人多少个？

甲、乙二人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三种题型，其中容易题两道，分值各10分，中档题一道，分值20分，难题一道，分值40分，二人需从4道题中随机抽取一道题作答（所选题目可以相同）
（Ⅰ）求甲、乙所选题目分值不同的概率；
（Ⅱ）求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率．

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4．
（1）求证：EM∥平面PAB；
（2）求证：PC⊥AE；
（3）求三棱锥P-ACE的体积V．

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足

PM

+

F2M

=

0

；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当

OA

•

OB

=λ且满足

2

3

≤λ≤

3

4

时，求△AOB面积S的取值范围．

高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m-n|＞2”的概率．

设a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*），是否存在一次函数g（x），使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．

设f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为常数）
（1）若a=b=1时，求证：f（x）不是奇函数；
（2）若a=1，b=2时，求证：f（x）是奇函数；
（3）若a=-1，b=-2时，解不等式f（x）≤3．

如图，F₁、F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-1将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A、B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与椭圆C交于P、Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

F2P

•

F2Q

的取值范围．

已知直线l₁：2x-3y+1=0，l₂：x+y-2=0的交点为P．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点P且与直线l₂垂直的直线l的方程．

如图，一个圆环O直径为4m，通过铁丝CA₁，CA₂，CA₃，BC（A₁，A₂，A₃是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态，并距天花板2m，记四段铁丝总长为y（m）．
（1）按下列要求建立函数关系：
（ⅰ）设∠CA₁O=θ（rad），将y表示为θ的函数，并写出函数定义域；
（ⅱ）设BC=x（m），将y表示为x的函数，并写出函数定义域；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求铁丝总长y的最小值．（精确到0.1m，取

2

=1.4）