Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足

PM

+

F2M

=

0

；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当

OA

•

OB

=λ且满足

2

3

≤λ≤

3

4

时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m²=k²+1，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

PM

+

F2M

=

0

，∴点M是线段PF₂的中点，
∴OM是△PF₁F₂的中位线，
又OM⊥F₁F₂∴PF₁⊥F₁F₂
∴

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
∴△＞0，∴k²＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4km

1+2  k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=

m2-2k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，
∴

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，解得：

1

2

≤k2≤1，（8分）
S=S_△AOB=

1

2

|AB|•1
=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )-4• 2m2-2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
设μ=k⁴+k²，则

3

4

≤μ≤2，
S=

μ 4μ+1

，μ∈[

3

4

，2]，
∵S关于μ在[

3

4

，2]上单调递增，
S（

3

4

）=

6

4

，S（2）=

2

3

．
∴

6

4

≤S≤

2

3

．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．