Question

如图，F₁、F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-1将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A、B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与椭圆C交于P、Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

F2P

•

F2Q

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ） 设F₂（c，0），则

c-1

c+1

=

1

3

，离心率e=

2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ） 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=-1，

F2P

•

F2Q

=-4．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（-1，m） （m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用点差法求出PQ的直线方程为y=-2mx-m．联立

y=-2mx-m x2 8 + y2 4 =1

，得：（8m²+1）x²+8m²x+2m²-8=0．由此能求出

F2P

•

F2Q

的取值范围是[-4，

125

58

）．

解答： 解：（Ⅰ） 设F₂（c，0），则

c-1

c+1

=

1

3

，
解得c=2．
∵离心率e=

2

2

，∴a=2

2

．
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．…（6分）
（Ⅱ） 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=-1，
此时P（-2

2

，0）、Q（2

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-4．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（-1，m） （m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 

x12 8 + y12 4 =1 x22 8 + y22 4 =1

，得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
则-1+2mk=0，故k=

1

2m

．…（8分）
此时，直线PQ斜率为k₁=-2m，
PQ的直线方程为y-m=-2m（x+1）．即y=-2mx-m．
联立

y=-2mx-m x2 8 + y2 4 =1

，消去y，整理得：
（8m²+1）x²+8m²x+2m²-8=0．
∴x1+x2=-

8m2

8m2+1

，x1x2=

2m2-8

8m2+1

．…（10分）
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+1+（2mx₁+m）（2mx₂+m）
=(1+4m2)x1x2+(2m2-2)(x1+x2)+4+m2
=

19m2-4

8m2+1

．
令t=1+8m²，1＜t＜29，
则

F2P

•

F2Q

=

19

8

-

51

8t

，
又1＜t＜29，∴-4＜

F2P

•

F2Q

＜

125

58

，
综上，

F2P

•

F2Q

的取值范围是[-4，

125

58

）．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．