设集合Z划分为两两不相交的子集A₁，A₂，…，A_n，又划分为两两不相交的子集B₁，B₂，…，B_n．已知任意两个不相交子集A_i与B_j的并集A_i∪B_j至少含有n个元素，1≤i，j≤n．求证：集合Z中的元素个数至少为

n2

2

，它能否等于

n2

2

？

已知数列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）试求a₈和a₆的值；
（2）对于数列{a_n}，是否存在自然数m，使得当n≥m时，a_n＜2；当n＜m时，a_n＞2，证明你的结论．

某公司在一次年会上举行了有奖问答活动，会议组织者准备了10道题目，其中6道选择题，4道填空题，公司一职员从中任取3道题解答．
（1）求该职员至少取到1道填空题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道选择题，道填空题．设该职员答对选择题的概率都是

4

5

，答对每道填空题的概率都是

3

5

，且各题答对与否相互独立．用X表示该职员答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

函数f（x）=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
（1）求函数f（x）最大值，及取得最大值时对应的x值．
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的取值范围．

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间和对称中心
（2）求函数y=f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底ABCD为正方形M、N分别
为SB、SD的中点．求证：
（1）MN∥平面ABCD；
（2）CB⊥平面SAB．

已知：a+b=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，求：
（1）（a+b）⁴的值；
（2）结合著名的杨辉三角，你能得出多少有（a+b）ⁿ展开式系数的结论．

已知f（x）=e^x-t（x+1）．
（1）若f（x）≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+

t

ex

，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N^*）．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的正弦值．

用秦九韶算法计算f（x）=2x⁴+3x³+5x+4在x=2时的值．写出详细步骤．