Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，由此能证明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）求出平面EFD的一个法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F-DE-B的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，
点D为坐标原点，设DC=1．…..…（1分）
连结AC，AC交BD于点G，连结EG．
依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0，

1

2

，

1

2

)．
因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(

1

2

，

1

2

，0)，且

PA

=(1，0，-1)，

EG

=(

1

2

，0，-

1

2

)．
所以

PA

=2

EG

，即PA∥EG，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
因此PA∥平面EDB．…（5分）
（Ⅱ）解：B(1，1，0)，

PB

=(1，1，-1)，
又

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，
故

PB

•

DE

=0，所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．…（7分）
所以平面EFD的一个法向量为

PB

=(1，1，-1)．

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

DB

=(1，1，0)，
设平面DEB的法向量为

a

=(x，y，z)
则

a • DE = 1 2 (y+z)=0 a • DB =x+y=0

不妨取x=1则y=-1，z=1，即

a

=(1，-1，1)…（10分）
设求二面角F-DE-B的平面角为θcosθ=

a • PB

| a || PB |

=-

1

3

，
因为θ∈[0，π]，所以sinθ=

2 2

3

．
二面角F-DE-B的正弦值大小为

2 2

3

． …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．