Question

已知f（x）=e^x-t（x+1）．
（1）若f（x）≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+

t

ex

，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f(x)≥0?t≤

ex

x+1

（x＞0）恒成立．设p(x)=

ex

x+1

（x≥0），则p′(x)=

xex

(x+1)2

≥0，从而求出p（x）在x∈[0，+∞]单调递增，p（x）≥p（0）=1（x=1时取等号），进而t≤1；
（2）设x₁、x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁设F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单增，而g′(x)=ex-t-

t

ex

≥2

ex•( -t ex )

-t=-t+2

-t

=(

-t

+1)2≥3故m＜3；
（3）由（1）知，x+1≤e^x=e^（x+1）-1，∴x≤e^x-1取x=

k

n

(k=1，2，…，n-1)，则(

k

n

)n≤(e

k

n

-1)n=

ek

en

．从而1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N*）．

解答： 解：（1）f(x)≥0?t≤

ex

x+1

（x＞0）恒成立．
设p(x)=

ex

x+1

（x≥0），则p′(x)=

xex

(x+1)2

≥0
∴p（x）在x∈[0，+∞]单调递增，p（x）≥p（0）=1（x=1时取等号），
∴t≤1；
（2）设x₁、x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，
故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁
设F（x）=g（x）-mx，
则F（x）在R上单增，
即F'（x）=g'（x）-m＞0恒成立．
即对任意的t≤-1，x∈R，m＜g'（x）恒成立．
而g′（x）=e^x-t-

t

ex

≥2

ex•( -t ex )

-t=-t+2

-t

=(

-t

+1)2-1≥3，
故m＜3；
（3）由（1）知，x+1≤e^x，∴x≤e^x-1，
取x=

k

n

(k=1，2，…，n-1)，
则(

k

n

)n≤(e

k

n

-1)n=

ek

en

．

n-1

k=1

(

k

n

)n≤

n-1

k=1

ek

en

=

1

en

•

e(1-en-1)

1-e

=

e

e-1

(

1

e

-

1

en

)＜

1

e-1

＜1，

n-1

k=1

(

k

n

)n＜1，  ∴

n-1

k=1

kn＜nn，
∴1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N*）

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，求参数的范围，不等式的证明，导数的应用，有一定的难度．