已知复数z=（m²-8m+15）+（m²-9m+18）i，实数m取什么值时，
（1）复数z是实数；      
（2）复数z是纯虚数；       
（3）复数z对应的点位于第三象限．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

(n+1)log2an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（

1

2

）^n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．

（Ⅰ）若点P（x，y）在曲线|x|+|y|=1上（xy≠0），求证：

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交CD于点D，点E，F分别在弦AB与弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆，证明：△ABC是直角三角形．

已知复数z=

1+i

1-i

+3-5i求：
（1）z；
（2）|z|．

已知直线l₁：3x-4y-6=0和直线l₂=-

p

2

，若抛物线C：x²=2py（p＞0）上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A、B两点，且AA₁，BB₁都垂直于直线l₂与y轴的交点为Q，求证：

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

为定值．

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数

1

x

f（x）也是增函数，则称函数f（x）为区间D上的“和谐”函数．已知函数f（x）=1-

1

x

．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[

1

4

，

9

4

]上是否为“和谐”函数；
（Ⅱ）若P是函数f（x）图象上的任一点，求点P到直线x-2y=0的最短距离；
（Ⅲ）当x∈[

1

4

，

9

4

]时，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立，求实数a的取值范围．

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=2，AB=BC=1，E为AD中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．