题目内容
（Ⅰ）若点P（x，y）在曲线|x|+|y|=1上（xy≠0），求证：
+
≥1．
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交CD于点D，点E，F分别在弦AB与弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆，证明：△ABC是直角三角形．
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交CD于点D，点E，F分别在弦AB与弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆，证明：△ABC是直角三角形．
考点：圆的切线方程
专题：直线与圆
分析：（Ⅰ）由已知条件得
+
=（
+
）（|x|+|y|），由此利用均值不等式能证明
+
≥1．
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明△ABC是直角三角形．
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
（Ⅱ）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明△ABC是直角三角形．
解答：
（Ⅰ）证明：∵点P（x，y）在曲线|x|+|y|=1上（xy≠0），
|x|＞0，|y|＞0，
∴
+
=（
+
）（|x|+|y|）
=
+y2+x2+
≥x2+y2+2
=x2+y2+2|x||y|
=（|x|+|y|）2
=1．
∴
+
≥1．
（Ⅱ）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
∵BC•AE=DC•AF，∴
=
．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴△ABC是直角三角形．
|x|＞0，|y|＞0，
∴
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
=
| x3 |
| |y| |
| y3 |
| |x| |
≥x2+y2+2
|
=x2+y2+2|x||y|
=（|x|+|y|）2
=1．
∴
| x2 |
| |y| |
| y2 |
| |x| |
（Ⅱ）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
∵BC•AE=DC•AF，∴
| BC |
| FA |
| DC |
| EA |
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴△ABC是直角三角形．
点评：本题考查不等式的证明，考查直角三角形的证明，解题时要认真审题，注意均值不等式和圆的性质的灵活运用．
练习册系列答案
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