Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

(n+1)log2an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列前n项和的定义可知，a₁=s₁，a_n=s_n-s_n-1，这样能得到a_n=2a_n-1，∴

an

a≈n-1

=2，所以会得到数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以根据等比数列的通项公式，便能求出a_n．第二问，将a_n带入便可求出b_n=

1

n(n+1)

，为了求T_n，需把

1

n(n+1)

变成

1

n

-

1

n+1

，这样便能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2=a₁，∴a₁=2；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，∴

an

an-1

=2；
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an=2n．
（Ⅱ）bn=

1

(n+1)log22n

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．

点评：对于第一问需用的知识是，根据前n项和的概念S₁=a₁，a_n=S_n-S_n-1，这样即可求出{a_n}的通项．对于第二问用到的知识是将

1

n(n+1)

变成

1

n

-

1

n+1

，带入前n项和即可求得T_n．这两种方法或知识点都需要掌握．