Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，可证A₁O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BD⊥AA₁；
（2）确定平面A₁C₁D、平面BC₁D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°
∴A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3
∴AO²+A₁O²=AA₁²
∴A₁O⊥AO，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AO
∴A₁O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0），
A₁（0，0，

3

）                         
∵

BD

=（-2

3

，0，0），

AA1

=（0，1，

3

），
∴

BD

•

AA1

=0
∴BD⊥AA₁；
（2）设平面A₁C₁D的一个法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

A1C1

=（0，2，0），

A1D

=（-

3

，0，-

3

），
∴

2y=0 - 3 x- 3 z=0

，∴

n

=（1，0，-1）
同理平面BC₁D的一个法向量为为

m

=（0，

3

，-2），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

2 • 7

=

14

7

．

点评：本题考查线面位置关系，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．