已知函数f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2f（x）+

lnx

x

≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

3

，

3

2

），椭圆C左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为E，△EF₁F₂为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x₀，y₀）的“伴随点”为N（

x0

a

，

y0

b

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求tan∠MON的最大值；
（3）直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“伴随点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

已知tanα=3，求下列各式的值：
（1）

3 cos(-π-α)-sin(π+α)

3 cos( π 2 +α)+sin( 3π 2 -α)

；
（2）2sin²α-3sinαcosα-1．

已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，B={x²-2mx+m²-1≤0，x∈R，m∈R}
（1）若A∩B={x|0≤x≤2}，求实数m的取值；
（2）若A⊆∁_RB，求实数m的取值范围．

已知曲线C的方程为y²=4x，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为P₁，过P₁作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个交点记为P₂，过P₂作斜率为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为P₃，…，如此下去，一般地，过点P_n作斜率为2ⁿ的直线与曲线C相交，另一个交点记为P_n+1，设点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（1）指出y₁，并求y_n+1与y_n的关系式（n∈N^*）；
（2）求{y_2n-1}（n∈N^*）的通项公式，并指出点列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令a_n=y_2n+1-y_2n-1，数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较

3

4

S_n+1与

1

3n+10

的大小，并证明你的结论．

已知函数f（x）=sinx，g（x）=mx-

x3

6

（m∈R）；
（1）求曲线y=f（x）在点P（

π

4

，f（

π

4

））处的切线方程；
（2）求函数g（x）的单调递减区间；
（3）若m=1，证明：当x＞0时，f（x）＜g（x）+

x3

6

．

已知函数f（x）=k（x-1）e^x+x²．
（Ⅰ）当时k=-

1

e

，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x²+（k+2）^x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；
（Ⅲ）当k≤-l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．

某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的

1

2

，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的

1

6

，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的

2

3

．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1= - 

2

3

，满足Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)．
（Ⅰ）分别计算S₁，S₂，S₃，S₄的值并归纳S_n的表达式（不需要证明过程）；
（Ⅱ）记f（1）=-a₁，f（n）=-a_3n（n≥2），证明：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

13

18

(n∈N*)．

一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比，k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？