Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1= - 

2

3

，满足Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)．
（Ⅰ）分别计算S₁，S₂，S₃，S₄的值并归纳S_n的表达式（不需要证明过程）；
（Ⅱ）记f（1）=-a₁，f（n）=-a_3n（n≥2），证明：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

13

18

(n∈N*)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式,归纳推理

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)得：Sn=-

1

2+Sn-1

，代入计算，可得S₁，S₂，S₃，S₄的值，从而归纳S_n的表达式；
（Ⅱ）f（n）=-a_3n（n≥2），利用放缩、裂项求和，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)得：Sn=-

1

2+Sn-1

又S1=a1=-

2

3

，经计算得：S2=-

3

4

，S3=-

4

5

，S4=-

5

6

…（4分）
由以上结果归纳得：Sn=-

n+1

n+2

..…（6分）
（Ⅱ）证明：由第一问知：a1= - 

2

3

，当n≥2时，an=-

1

(n+1)(n+2)

=-

1

n2+3n+2

..…（8分）
所以f(1)=-a1=

2

3

＜

13

18

..…（9分）
当n≥2时，f(n)=-a3n=

1

9n2+9n+2

＜

1

9n2+9n

=

1

9

•

1

n(n+1)

＜

1

9

(

1

n

-

1

n+1

)..…（12分）
从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

2

3

+

1

9

(

1

2

-

1

n+1

)＜

2

3

+

1

9

•

1

2

=

13

18

..…（13分）
综上所述：对n∈N^*，都有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

13

18

．．…（14分）

点评：本题考查数列的求和，考查放缩、裂项求和，考查小时分析解决问题的能力，正确放缩、裂项求和是关键．