Question

已知函数f（x）=k（x-1）e^x+x²．
（Ⅰ）当时k=-

1

e

，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x²+（k+2）^x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；
（Ⅲ）当k≤-l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）k=-

1

e

时，f（x）=-

1

e

（x-1）e^x+x²，得f′（x）=x（2-e^x-1 ），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

）＜x²+（k+2）x，即：kxe^x-x²-kx＜0，令h（x）=ke^x-x-k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；
（Ⅲ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

），令f′（x）=0，得：x₁=0，x₂=ln（-

2

k

），令g（k）=ln（-

2

k

）-k，则g′（k）=-

1

k

-1≤0，得g（k）在k=-1时取最小值g（-1）=1+ln2＞0，讨论当-2＜k≤-1时，当k=-2时，当k＜-2时的情况，从而求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）k=-

1

e

时，f（x）=-

1

e

（x-1）e^x+x²，
∴f′（x）=x（2-e^x-1 ），∴f′（1）=1，f（1）=1，
∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，
（Ⅱ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

）＜x²+（k+2）x，
即：kxe^x-x²-kx＜0，
∵x＜0，∴ke^x-x-k＞0，
令h（x）=ke^x-x-k，
∴h′（x）=ke^x-1，
当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，
当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，
当k＞1时，h（x）在（-∞，-lnk）递减，在（-lnk，0）递增，
∴h（-lnk）＜h（0）=0，不合题意，
综上：k≤1．
（Ⅲ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

），
令f′（x）=0，解得：x₁=0，x₂=ln（-

2

k

），
令g（k）=ln（-

2

k

）-k，则g′（k）=-

1

k

-1≤0，
g（k）在k=-1时取最小值g（-1）=1+ln2＞0，
∴x₂=ln（-

2

k

）＞k，
当-2＜k≤-1时，x₂=ln（-

2

k

）＞0，
f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{-k，1}=1，
当k=-2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，
当k＜-2时，f（x）的最小值为m=min{f（x₂ ），f（1）}，
f（x₂ ）=-2[ln（-

2

k

）-1]+[ln（-

2

k

）]²=x22-2x₂+2＞1，f（1）=1，
此时m=1，
综上：m=1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查参数的取值，导数的应用，是一道综合题．