题目内容
一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比，k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．
解答：
解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx3，
由6=k×103可得，k=
，
∴Q=
x3，
∴总费用y=(
x3+96)•
=
x2+
，
∴y′=
x-
，
令y′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，
∴当x=20时，y取得最小值．
答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
由6=k×103可得，k=
| 3 |
| 500 |
∴Q=
| 3 |
| 500 |
∴总费用y=(
| 3 |
| 500 |
| 1 |
| x |
| 3 |
| 500 |
| 96 |
| x |
∴y′=
| 6 |
| 500 |
| 96 |
| x2 |
令y′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，
∴当x=20时，y取得最小值．
答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想．
练习册系列答案
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当0＜x＜1时，f（x）=
，则下列大小关系正确的是（ ）
| x |
| lgx |
| A、f2（x）＜f（x2）＜f（x） |
| B、f（x2）＜f2（x）＜f（x） |
| C、f（x）＜f（x2）＜f2（x） |
| D、f（x2）＜f（x）＜f2（x） |
如图所示，江边有一座高为30m的瞭望塔AB，江中有两条船C、D，由塔顶A测得两船C、D的俯角分别为45°和30°，而且两条船C、D与塔底部B连线所成的∠CBD大小为30°，求两条船C、D间的距离为多少米？
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