已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2

3

．
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，试证明：无论直线AP绕点A如何转动，以BD为直径的圆总与直线PF相切．

设点A，B是圆x²+y²=4上的两点，点C（1，0），如果∠ACB=90°，则线段AB长度的最大值为．

省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员．现将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名队员，用ξ表示乙校中选出的“高个子”人数，试求出ξ的分布列和数学期望．

已知tan（

π

4

+α）=

1

2

（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

sin(2α+2π)-sin2( π 2 -α)

1-cos(π-2α)+sin2α

的值．

某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	（300，350]
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天数	2	4	5	9	4	3	3

（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
S=

0，0≤w≤100 4w-400，100＜w≤300 2000，300＜w≤350

若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）试在线段A₁B₁上找一点M，使得平面AC₁M∥平面CDB₁．

已知两圆C₁：x²+y²=4，C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，直线l：x+2y=0，求经过圆C₁、C₂的交点且和直线l相切的圆的方程．

已知平面上三个向量

a

、

b

、

c

，其中

a

=（1，2）．
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ的余弦值．

已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（Ⅰ）求证：FA∥BE：；
（Ⅱ）求证：

AP

PC

=

FA

AB

；
（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．

已知|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

与

b

夹角为120°求：
（1）（

a

-2

b

）•（

a

+

b

）；
（2）

a

与

a

+

b

的夹角．