题目内容
省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员．现将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”．（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名队员，用ξ表示乙校中选出的“高个子”人数，试求出ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由茎叶图知这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样抽样的方法从中抽取5人，应从“高个子”中抽取2人，从“非高个子”中抽取3人，由此能求出从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率．
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数ξ的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数ξ的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）由茎叶图知这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，
用分层抽样抽样的方法从中抽取5人，
应从“高个子”中抽取
×8=2人，从“非高个子”中抽取
×12=3人，
用A表示“到少有一名高个子被选中”，则
表示“没有一名高个子被选中”，
∴P（A）=1-P（
）=1-
=1-
=
．
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数ξ的所有可能值为0，1，2，3，
由超几何分布公式得：P(ξ=0)=
=
，P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
=
，P(ξ=3)=
=
，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
用分层抽样抽样的方法从中抽取5人，
应从“高个子”中抽取
| 5 |
| 20 |
| 5 |
| 20 |
用A表示“到少有一名高个子被选中”，则
. |
| A |
∴P（A）=1-P（
. |
| A |
| ||
|
| 3 |
| 10 |
| 7 |
| 10 |
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数ξ的所有可能值为0，1，2，3，
由超几何分布公式得：P(ξ=0)=
| ||||
|
| 1 |
| 14 |
| ||||
|
| 3 |
| 7 |
| ||||
|
| 3 |
| 7 |
| ||||
|
| 1 |
| 14 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 14 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 1 |
| 14 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用．
练习册系列答案
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