题目内容
已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（Ⅰ）求证：FA∥BE：；
（Ⅱ）求证：
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．
考点：相似三角形的判定,与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（I）利用圆的性质、平行线的判定定理即可得出；
（II）利用弦切角定理可证明△APC∽△FAC，进而得出；
（III）利用割线定理可得AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的结论
=
，及在Rt△FAP中，tan∠F=
=
即可得出．
（II）利用弦切角定理可证明△APC∽△FAC，进而得出；
（III）利用割线定理可得AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的结论
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
解答：
（I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF．
∴∠OAF=∠F．
∵∠B=∠F，
∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC．∴
=
．
∴
=
．
∵AB=AC，
∴
=
．
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4．
整理得CP2+2CP-4=0，
解得CP=-1±
．
∵CP＞0，∴CP=
-1
∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．
由（2）中证得
=
，
在Rt△FAP中，tan∠F=
=
=
．
∴tan∠CPE=tan∠F=
．
∴OA=OF．
∴∠OAF=∠F．
∵∠B=∠F，
∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC．∴
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
∴
| AP |
| PC |
| FA |
| AC |
∵AB=AC，
∴
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4．
整理得CP2+2CP-4=0，
解得CP=-1±
| 5 |
∵CP＞0，∴CP=
| 5 |
∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．
由（2）中证得
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
在Rt△FAP中，tan∠F=
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
| ||
| 2 |
∴tan∠CPE=tan∠F=
| ||
| 2 |
点评：本题考查了圆的性质、平行线的判定定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质定理、圆的割线定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
如图，三棱锥A-BCD各棱长都为1，且M、N分别是AB、CD的中点，