已知如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，E是上底面中心，F，M为A₁B₁与CD的中点．
（Ⅰ）写出C₁M与平面EFAD的位置关系并证明．
（Ⅱ）求证：平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）求几何体B₁EF-BDA的表面积．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若离心率为

5

3

，短轴一个端点到右焦点距离为3，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（3）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值．

已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q（2，

3

3

），且Q点在x轴上的射影恰为该双曲线的焦点F．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，问：

|AB|

|FM|

是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

已知m∈R，复数z=（m²-5m+6）+（m²-3m）i．
（1）实数m取什么值时，复数z为纯虚数？
（2）实数m取什么值时，复数z对应的点在直线y=

1

2

x上？

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCD：
（Ⅱ）若PC⊥AC，求证：平面PAC⊥平面ABC．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且经过点（

6

，1），O为坐标原点．
（1）求椭圆E的标准方程．
（2）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=-4在x轴上方的一点，过M点作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当∠PMQ=60°时，试证明点M关于直线PQ的对称点在圆O上．

已知复数Z₁，Z₂在复平面内对应的点分别为A（-2，1），B（a，3）．
（1）若|Z₁-Z₂|=

5

，求a的值．
（2）复数z=Z₁•Z₂对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．

已知函数f（x）=2alnx-x+

1

x

（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b（b∈R）
（Ⅰ）若f（x）是在定义域上有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=

2

时，若对?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数b的取值范围．（其中e为自然对数的底数）
（Ⅲ）对?n∈N，且n≥2，证明：ln（n！）⁴＜（n-1）（n+2）

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a∈R．
（1）当a=4时，求函数f（x）的极值点；
（2）令F（x）=f（x）+（a+2）x，若函数F（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“特殊点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“特殊点”的横坐标，若不存在，说明理由．

如图，单位正方形ABCD，在正方形内（包括边界）任取一点M，求：
（1）△AMB面积大于等于

1

4

的概率；
（2）求AM长度不小于1的概率．